Uma de minhas séries favoritas é
House. No fundo, o show é um drama de mistério não muito diferentes dos de S
herlock Holmes. Mas com a diferença de ao invés de descobrir quem é o culpado, o programa gira em torno de descobrir qual é a doença.
Não vou entrar aqui na série em si (vou deixar isso para um futuro post), mas vou me deter na questão de um elemento central do show: o
diagnóstico.
No show, o paciente apresenta sintomas que são inicialmente tratados baseados em uma suposição sobre qual é a doença. Quando esta suposição não se prova verdadeira, novos sintomas surgem e o ciclo continua até que House (ou um dos seus colegas) tenha informação suficiente para saber qual é a doença.
E isto é fascinante. Digo isso não só pela forma como isso é explorado no programa, mas também pelo conceito de
refino da probabilidade através de testes sucessivos. Suspeito que isso pode ser aplicado em muitas outras áreas.
E naturalmente
há estudos sobre isso (
há estudos sobre coisas que
a maioria das pessoas sequer imagina).
Isso me fez pensar a respeito de construir exemplos de como o diagnóstico pode ser aplicado. Para tanto vamos restringir a um caso simples inicialmente. Temos 4 doenças (D1, D2, D3, D4). Cada uma destas doenças tem um conjunto de sintomas associados:
D1 - {S11, S12, S13, S14}
D2 - {S21, S22, S23, S24}
D3 - {S31, S32, S33, S34}
D4 - {S41, S42, S43, S44}
Bem se todos os sintomas são únicos a cada uma das doenças, então basta verificar um único sintoma e
bada-bing, descobre-se a doença. Mas vamos complicar um pouco mais: vamos dizer que as doenças em sintomas em comum e que na realidade é a combinação de sintomas que define a doença.
D1 - {S11, S12, S13, S14}
D2 - {S11, S12, S23, S24}
D3 - {S11, S32, S33, S24}
D4 - {S11, S42, S23, S44}
Assim, D1 e D2 tem 2 sintomas em comum, D1 e D3 tem 1 sintoma em comum e D1 e D4 tem 1 sintoma em comum. Se o sintoma S11 for o primeiro a se apresentar, então o médico terá D1, D2, D3 e D4 como possíveis candidatos a doença em questão.
Mas ao surgir um novo sintoma, pode-se reduzir o universo de doenças possíveis. Se o sintoma S12 surgir, então o médico saberá que a doença pode ser D1 ou D2. Se o sintoma S23 surgir, então o médico saberá que a doença pode ser D2 ou D4 e se o sintoma S24 surgir então a doença estará entre D2 e D3.
Pode-se argumentar que o diagnóstico passa por submeter o paciente a sucessivos testes para determinar qual é a sua doença. No caso acima o número mínimo de testes para identificar a doença com 100% de certeza é 3.
O paciente tem S11. Testa-se o paciente para ver se ele tem S12. Caso positivo então testa-se para se ele tem S13 para determinar se é D1 ou D2. Caso negativo então testa-se para ver se ele tem S32 (caso o resultado for positivo então ele tem D3 caso negativo então é D4).
No caso, o problema de determinar a doença nada mais é o problema de realizar o mínimo de testes para determinar inequivocamente qual linha de uma matriz de diagnóstico {Presença x Sintoma} se procura.
Mas pode-se complicar ainda mais com sintomas que estão presentes em um percentual de doenças mais não em outros (e nos aproximarmos da realidade). Vamos dizer agora que os sintomas são somente S11, S12, S13 e S14. Mas as doenças D1, D2, D3 e D4 tem frequências diferentes para estes sintomas. Vamos dizer que em D1 de cada 100 casos, 20 apresentam S11, 90 apresentam S12, 10 apresentam S13 e 50 apresentam S14. Podemos representar isso por:
D1 - {S11, S12, S13, S14} - (0.2, 0.9, 0.1, 0.5)
Podemos fazer o mesmo para as outras doenças
D2 - {S11, S12, S23, S24} - (0.3, 0.3, 0.3, 0.8)
D3 - {S11, S32, S33, S24} - (0.5, 0.5, 0.7, 0.9)
D4 - {S11, S42, S23, S44} - (0.4, 0.2, 0.6, 0.8)
Então como proceder neste caso? Bem, se os sintomas fossem independentes então seria fácil. Era só multiplicar todas os números e colocar um score de mais provável para menos provável. Mas frequentemente não existe essa independência. Dizer que de cada 100 casos, 20 apresentam S11 e 90 apresentam S12 não me diz nada sobre o número de casos que apresentam S11 e S12. Da mesma forma, os demais sintomas também podem ter alguma correlação.
Para expressar isso é necessária uma matriz que ligue os demais sintomas. Por exemplo:
- De cada 10 pessoas que possuem o sintoma S11, 9 possuem S12, 7 possuem o sintoma S13 e 5 possuem o sintoma S14.
- De cada 10 pessoas que possuem o sintoma S12, 5 possuem o sintoma S11, 8 possuem o sintoma S13 e 7 possuem o sintoma S14
- De cada 10 pessoas que possuem o sintoma S13, 9 possuem o sintoma S11, 8 possuem o sintoma S12 e 7 possuem o sintoma S14
- De cada 10 pessoas que possuem o sintoma S14, 6 possuem o sintoma S11, 7 possuem o sintoma S12 e 4 possuem o sintoma S13
Note que isto é diferente de expressar o problema em termo do número de casos que tem D1 e apresentam o sintoma S11, S12, S13 e S14. O que estamos dizendo aqui é Dado que nos 10 casos que o sintoma S11 apareceu, o sintoma S12 apareceu em 9 deles (P(S12|S11) = 0.9).
Este tipo de relacionamento, em conjunto com o
Teorema de Bayes permite determinar qual a doença (D1, D2, D3 e D4) é a mais provável. Como? Bem, o que informamos anteriormente é dado a doença D1, qual é a probabilidade de aparecer o sintoma S11 (0.2). Ou seja informamos P(S11|D1)=0.2 (Isto é normalmente diferente do que desejamos saber: qual é a probabilidade de D1 dado S11 (P(D1|S11)?
Na realidade queremos saber P(D1| S11 e S12 e S13 e S14)!
Como dá para ver, mesmo com um conjunto limitado de 4 doenças, o problema se torna complicado rapidamente. Fazer isto de cabeça só mesmo para House.
Aliás o título deste post é uma tradução (meia-boca) do trocadilho
House always wins.
